카테고리, 정량화 등 존 바에즈 4월 12일, 2006 양자 이론은 위치나 운동량과 같은 관측 가능한 양이 서로 통한다는 가정을 버림으로써 얻을 수 있는 고전 역학의 일반화라고 생각할 수 있습니다. 따라서 양자 이론에서는 공진적이지 않지만 여전히 연관성이 있는 대수를 좋아하게 됩니다.
그런데 왜 공진성이 없는 연관성이 공진성이 없는 연관성보다 훨씬 더 많이 연구되는지에 대해 알아보는 것은 흥미롭습니다. 기본적으로 이진 연산의 예는 대부분 함수의 구성으로 해석할 수 있기 때문입니다. 예를 들어, 실수에 x를 더하는 연산(여기서 x는 실수)을 단순히 x라고 쓴다면, x + y는 x와 y를 합친 것일 뿐입니다. 구성은 항상 연관성이 있으므로 + 연산은 연관성이 있습니다!
연관성을 신성한 속성으로 유지하면서 집합의 개념을 일반화하려고 하면 범주라는 개념을 얻을 수 있습니다. 범주는 수학에서 가장 기본적인 구조 중 하나입니다. 카테고리는 사무엘 에일렌버그와 손더스 맥레인에 의해 만들어졌습니다.
실제로 맥레인은 이렇게 말했습니다: "제가 범주 이론을 창안한 것은 함수에 대해 이야기하기 위해서가 아닙니다. 자연 변환에 대해 이야기하기 위해 범주 이론을 발명했습니다."라고 말했습니다. 그렇죠? 잠깐만요.
우선, 범주란 무엇인가요? 범주는 객체 집합과 형태소 집합으로 구성됩니다. 모든 형태소에는 소스 객체와 타깃 객체가 있습니다. f가 X를 소스로, Y를 대상으로 하는 형태소라면 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
f: X → Y
라고 쓰고, f가 X에서 Y로 이동한다고 가정하면, X에서 Y로 이동하는 모피즘 집합에 대해 Hom(X,Y)라고 씁니다.
명심해야 할 예는 객체가 집합인 범주에서 f: X → Y는 집합 X에서 집합 Y로 이동하는 함수이고, Hom(X,Y)는 X에서 Y로 이동하는 함수의 집합입니다.
범주의 공리는 범주는 객체의 집합으로 구성되며, 두 객체 X와 Y에 대해 X에서 Y로 가는 형태소의 집합 Hom(X,Y)이 존재한다는 것입니다:
형태소 g: X → Y와 f: Y → Z가 주어졌을 때, f와 g의 합성이라고 하는 형태소 fg: X → Z가 있습니다. 구성은 연관성이 있습니다: (fg)h = f(gh). 각 물체 X에는 X에서 X로 가는 1X라는 형태소가 있는데, 이를 X의 동일성이라고 합니다. 구성은 좌변과 우변 단위 법칙을 만족합니다. 어떤 형태소 f: X → Y가 주어지면 1Y f = f = f 1X가 됩니다. 고전적인 예는 집합을 객체로, 함수를 형태소로, 일반적인 구성을 구성으로 하는 범주인 집합(Set)입니다! 또는 다른 것입니다:
Vect - 벡터 공간을 객체로, 선형 맵을 모피즘으로 사용합니다. Group - 객체로서의 그룹, 형태로서의 동형도형 Top - 객체로서의 위상 공간, 모피즘으로서의 연속 함수 Diff - 객체로서의 매끄러운 다양체, 모피즘으로서의 매끄러운 맵 링 - 객체로서의 링, 모피즘으로서의 링 동형성체 이 모든 경우에서 모피즘은 실제로 특수한 종류의 함수라는 점에 유의하세요. 일반적으로 그럴 필요는 없습니다! 예를 들어, 정렬된 집합은 원소를 객체로 하는 범주에 불과하며, X가 Y보다 작거나 같을 경우 각 Hom(X,Y)에는 하나의 형태소가 있지만 그렇지 않은 경우에는 아무 것도 없습니다. 또한, 그룹은 하나의 객체가 있고 모든 형태소가 역을 갖는 범주로, 우리는 이러한 형태소를 그룹의 "요소"라고 부릅니다. 이상하지 않나요? 사실 매우 유용한 관점입니다.
현대 수학의 황금률은 삶은 범주 내에서, 그리고 범주 사이에서 일어난다는 것입니다. 수학의 많은 멋진 개념이 바로 펑터입니다. 함수는 범주 사이의 일종의 지도입니다. 범주 C에서 범주 D로의 함수 F는 C의 객체 집합에서 D의 객체 집합으로의 맵과 C의 모든 객체 X, Y에 대한 Hom(X,Y) 집합에서 Hom(F(X),F(Y))로의 맵이 함께 존재하는 맵입니다. 즉, 객체는 객체로 이동하고 형태소는 형태소로 이동합니다. 우리는 이것을 요구합니다:
F는 구성을 보존합니다: F(fg) = F(f)F(g) F는 동일성 모피즘을 보존합니다: F(1X) = 1F(X) 범주 이론은 대수 위상학자들 사이에서 인기가 높습니다. 일반적으로 대수 위상학자는 위상 구조에 대수 불변량을 할당하려고 시도합니다. 이러한 불변량의 황금률은 함수적이어야 한다는 것입니다. 즉, 함수적이어야 한다는 것입니다! 예를 들어, 기본 그룹은 함수형입니다. 위상수학자들은 어떤 공간에서든 기본군이라는 그룹을 만드는 방법을 알고 있습니다. (이 그룹은 공간에 몇 개의 구멍이 있는지 추적합니다.) 또한 공간 사이의 모든 맵은 기본 그룹의 동형성을 결정합니다. 따라서 기본 그룹은 실제로 Top 범주에서 Group 범주로 넘어가는 함수입니다.
이를 통해 공간과 공간 사이의 연속 매핑을 포함하는 모든 상황을 그룹과 동형을 포함하는 평행 상황으로 완전히 바꿀 수 있으며, 따라서 일부 위상 문제를 대수 문제로 줄일 수 있습니다! 예를 들어, 이 아이디어를 사용하면 경계의 점들이 스스로 매핑되는 방식으로 디스크를 경계에 연속적으로 매핑할 수 없음을 쉽게 보여줄 수 있습니다. 위상수학에서 이 문제를 대수학 문제로 바꾸면 끝입니다! 쉽습니다!
"첫 번째 양자화는 미스터리이지만 두 번째 양자화는 함수다!"라는 에드워드 넬슨의 유명한 말이 있습니다. 이 말을 설명할 수 없다면 진정한 수학 물리학자라고 할 수 없습니다. 그럼 이 말을 설명해 드리겠습니다!
첫 번째 양자화는 미스터리입니다. 양자화는 물리 시스템에 대한 고전적 설명에서 "동일한" 시스템에 대한 양자적 설명으로 넘어가는 시도입니다. 이제 신이 첫째 날에 고전적 우주를 창조하고 둘째 날에 양자화했다는 것은 사실이 아닌 것 같습니다. 따라서 고전 역학에서 양자역학으로 넘어가는 것은 부자연스러운 일입니다. 그럼에도 불구하고 우리는 고전 역학을 더 잘 이해하기 때문에 그렇게 하려는 경향이 있습니다. 그래서 우리는 위상 공간과 그 위에 해밀턴 함수가 있는 고전 역학 문제에서 시작해서 해밀턴 연산자가 있는 힐베르트 공간과 그 위에 해밀턴 함수가 있는 양자역학 문제를 만들어내는 방법을 찾고자 합니다. 이를 위한 완전히 일반적인 체계적 절차는 없다는 것이 분명해졌습니다.
수학적으로 양자화가 "자연스러운" 것이라면, 이는 대상이 심플렉티브 다양체(=위상 공간)이고 형태가 심플렉티브 맵(=정식 변환)인 범주에서 대상이 힐베르트 공간이고 형태가 단일 연산자인 범주로 변환하는 함수일 것입니다. 아쉽게도 그런 멋진 함수는 없습니다. 따라서 양자화는 항상 임시방편적이고 문제가 많은 시도입니다. 양자화에 대해 많이 알려져 있지만, 잘 알려지지 않은 것이 더 많습니다. 그렇기 때문에 첫 번째 양자화가 미스터리입니다.
(그런데 저는 양자화에 관한 많은 "안 되는" 정리를 보았지만, 위와 같이 표현된 정리는 본 적이 없습니다. "심플렉틱 범주에서 힐베르트 범주로 넘어가는 함수 중 ..... 을 만족하는 함수는 존재하지 않는다." 도전해 보실 분 계십니까? 아직 이 문제를 풀지 못했다면 상황을 명확히 알 수 있을 것입니다).
공명 범주에서 힐베르트 범주로 넘어가는 함수, 즉 각 공명 다양체 X에 힐베르트 공간 L2(X)를 할당하고, 여기서 리우빌 측정값에 대해 L2를 취하는 함수가 있다는 점에 유의하세요. 모든 심플렉틱 맵은 명백한 방법으로 단일 연산자를 산출합니다. 이를 사전 양자화라고 합니다. 물리적으로 문제가 되는 것은 양의 해밀턴에 의해 생성된 심플렉틱 변환의 한 매개변수 그룹이 양의 생성자를 가진 단항 연산자의 한 매개변수 그룹에 매핑되지 않는다는 것입니다. 따라서 제 추측으로는 심플렉틱 범주에서 힐베르트 범주로 "양성을 보존하는" 함수가 존재하지 않는다고 생각합니다).
두 번째 양자화는 단일 입자 시스템에 대한 양자 설명에서 다수 입자 시스템에 대한 양자 설명으로 넘어가려는 시도입니다. (다른 방법도 있지만, 여기서는 이렇게 해보겠습니다.) 단일 입자계에 대한 힐베르트 공간 H에서 시작하여 H에 대한 대칭(또는 비대칭) 텐서 대수를 형성하고 이를 완성하여 H에 대한 보손(또는 페르미온) 포크 공간이라고 하는 힐베르트 공간 K를 형성합니다. H의 모든 단일 연산자는 분명한 방식으로 K의 단일 연산자를 제공합니다. 보다 일반적으로, 힐베르트 범주에서 자신으로 "두 번째 양자화"라고 불리는 함수가 있는데, 이 함수는 각 힐베르트 공간을 포크 공간으로, 각 유니타리 맵을 명백한 유니타리 맵으로 전송합니다. 이 함수는 양성을 보존합니다. (전자의 음의 에너지 상태, 디랙의 "전자 바다의 구멍" 등과 관련된 모든 이상한 문제는 잘못된 방식으로 생각했기 때문입니다).
참고로, 두 번째 양자화를 반복하면 어떤 일이 벌어질지 생각해보는 것도 좋습니다. 포기할까요? 세상에, 정말 빠르네요! "n번째 양자화"에 대한 제 글을 읽어보시기 바랍니다.
물리학에서 흥미로운 물체는 민코프스키 공간입니다. 우리는 단 하나의 객체, 즉 민코프스키 공간만 있는 범주 밍크를 상상할 수 있습니다! 그리고 그 형태는 푸앵카레 변환(즉, 회전, 변환, 로렌츠 변환 및 이들의 합성)입니다! 그런 다음 민코프스키 공간에서 하나의 객체를 가진 스핀 범주, 스피너의 공간 (복소수의 4- 튜플에 대한 공상) 및이 공간에 대한 푸앵카레 군의 표현에 의해 주어진 형태론을 자연스럽게 변환하는 것을 상상할 수 있습니다. 그렇다면 상대성 원리를 가장 정확하게 표현하는 것은 관측 가능한 모든 것, 예를 들어 스피너의 값은 밍크에서 관련 범주(이 경우 스핀)로의 함수를 정의해야 한다는 것입니다. 또한 일반 공분산의 원리와 게이지 분산 원리를 가장 정확하게 표현할 수 있는 방법은 관측값이 함수적이라고 말하는 것입니다. 따라서 물리학자들은 "특정 좌표계 선택에 대한 참조 없이 정의할 수 있는" 함수성을 수학적인 것으로 간주해야 합니다.
물리학자들은 제가 "함수성"이 단순히 집단 행동에 따른 공분산 이상의 의미를 갖는다는 예를 들기 전까지는 이를 고도의 추상적인 헛소리로 간주할 자격이 있습니다. 요점은 카테고리는 실제로는 그룹의 일반화라는 것입니다. 그룹 표현은 범주 표현의 특수한 경우에 불과합니다. 이 아이디어는 김민형 님이 저에게 알려주었습니다. 그는 이렇게 말했습니다: "결국 사람들은 그룹 표상 이론이 그렇게 큰 문제가 아니라는 것을 알게 될 것이고, 정말 중요한 것은 범주의 표상이라는 것을 알게 될 것입니다." 처음엔 그냥 멋있게 들리려고 하는 말이라고 생각했습니다(그는 항상 가장 추상적이고 우아한 관점을 추구하죠). 하지만 양자 중력에 대한 제 연구에서도 범주 표현이 필요하다는 것을 깨달았습니다.
기사 [email protected] [email protected] 에서 이렇게 썼습니다:
그룹과 카테고리에 대해 말하자면, 저는 항상 카테고리를 좋아했습니다. 그룹 정의의 버전:
그룹은 모든 형태가 동형인 > 하나의 객체를 가진 범주입니다.
하나의 객체를 가진 범주입니다. 시블리가 제안한 대로 군을 하나의 범주로 생각한다면, 군의 표현은 해당 범주에서 벡터 공간의 벡터 벡터(Vect) 범주로의 함수일 뿐입니다. 따라서 우리는 범주의 표현을 해당 범주에서 벡터 공간의 범주에 대한 함수라고 정의할 수 있습니다.
흥미로운 표현을 가진 흥미로운 범주의 예로 엉킴 범주를 들 수 있습니다! 탱글은 끈과 비슷하지만 가닥이 스스로 두 배가 될 수 있고 닫힌 루프도 있을 수 있습니다. Tang 범주의 객체는 {0,1,2,...}이고, Hom(m,n)의 형태소는 m개의 가닥이 들어가고 n개의 가닥이 나오는 엉킴의 (동위 원소 클래스) 형태소입니다. 여기서 그림은 천 마디 말보다 중요합니다. 다음은 Hom(2,4)의 원소입니다:
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2 in, 4 out! 다음은 Hom(4,0)의 원소입니다:
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4가 들어가고, 아무것도 나오지 않습니다! 이러한 모피즘을 조합하여 Hom(2,0)의 모피즘을 얻을 수 있습니다:
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정확히 말하자면, 얽힘은 [0,1] x R2에 경계가 내장된 1-다양체 X로, X의 경계가 [0,1] x R2의 경계에 매핑되고 X가 [0,1] x R2의 경계와 가로로 교차하도록 합니다. 또한 X의 경계에 있는 점들이 [0,1] x R2의 경계에 있는 특정 "표준" 점 (0,xi) 및 (1,xi)에 매핑된다고 가정하면, 위 그림과 같이 점들을 서로 붙여서 엉킴을 구성할 수 있습니다. 따라서 대상이 {0,1,2,....}이고, {0}xR2에 경계점이 m개, {1}xR2에 경계점이 n개인 엉킴의 동위 원소 클래스인 형태 Hom(m,n)이 있는 카테고리가 있습니다.
반단순 Lie 군의 유한 차원 표현에서 엉킴의 범주를 표현할 수 있음이 밝혀졌습니다. 이 구조는 레셰티킨과 투라예프에 의한 것으로 양자 그룹을 포함합니다. 이 주제는 여기서 시작되었습니다:
블라드미르 투라예프, 양-박스터 방정식과 링크의 불변량, Invent. Math. 92 (1988), 527-553. 니콜라이 레셰티킨과 블라디미르 투라예프, 리본 그래프와 양자 그룹에서 파생된 불변량, Comm. Math. 127 (1990), 1-26. 블라디미르 투라예프, 얽힘의 연산자 불변량과 R 행렬, 수학. USSR Izvestia 35 (1990), 411-444. 하지만 지금은 이런 교과서에서 더 쉽게 배울 수 있습니다: Christian Kassel, 양자 군, 수학 대학원 교과서 155, Springer, Berlin, 1995. 온라인에서 정오표를 확인할 수 있습니다. 얽힘의 범주에 대해 자세히 알아보려면 여기를 클릭하세요.
자, 이제 맥레인의 수수께끼 같은 발언으로 돌아가 보겠습니다. 자연스러운 변형이란 무엇인가요?
자연 변환은 함수 사이를 이동하는 것을 말합니다. 범주 C에서 범주 D로 이동하는 두 개의 함수 F와 G가 있다고 가정해 보겠습니다. 그런 다음 F에서 G로의 자연 변환 N은 C의 각 객체 X에 형태소 N(X)를 할당합니다: F(X) → G(X)를 할당하여 이 다이어그램이 통근하도록 합니다:
F(X)---F(f)-->F(Y)
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N(X)| |N(Y)
v v
G(X)---G(f)-->G(Y)
즉, 이 방정식은 다음과 같습니다: G(f) N(X) = N(Y) F(f)
예를 들어, "아벨리안화"는 그룹 H를 아벨리안 그룹 H/[H,H]로 매핑하는 것입니다. F가 기본군이고 G가 첫 번째 상동군이라면, 아벨리안화는 F에서 G로의 자연스러운 변환이라고 말할 수 있습니다. 이 예는 대수적 위상수학을 알지 못하면 난해하지만, 좀 더 물리적인 예를 생각해 볼 수 있을 것입니다.
더 깊이 들어가 보고 싶다면 이 질문을 생각해 보세요:
"모든 범주의 범주"란 어떤 것일까요?
그것은 단순한 카테고리가 아니라 2가지 카테고리로 밝혀졌습니다. 즉, 객체와 형태소 외에도 "2-형태소", 즉 형태소와 형태소 사이의 형태소가 있다는 뜻입니다. 이것이 어떻게 진행되는지 알아보기 위해 모든 범주의 2-카테고리를 "고양이"라고 부르겠습니다. 그러면 Cat의 객체는 범주이고, Cat의 형태소는 함수이며, 2-형태소는 자연 변환입니다!
여기서부터 어떻게 되는지 조금만 말씀드리겠습니다. 우선, 우리는 이 게임을 무한히 계속할 수 있다는 것이 밝혀졌습니다. 객체, 객체 사이의 형태소, 형태소 사이의 2-형태소 등을 갖는 "n-범주"라는 개념을 n-형태소까지 정의할 수 있으며, "모든 n-범주의 범주"는 실제로는 (n+1)-범주라는 것이 밝혀졌습니다.
범주의 표현, 즉 벡터에 대한 함수에 대해 이야기할 수 있는 것처럼 n-범주의 표현에 대해서도 이야기할 수 있습니다. 이는 "n-함수에서 nVect로"와 동일하며, 여기서 nVect는 "n-벡터 공간"의 n-범주입니다. 이는 그 자체로 보면 말도 안 되는 일반화처럼 보일 수 있지만, 위상 양자장 이론과 끈 이론에서 이 아이디어는 자연스럽게 나타납니다. 따라서 물리학에서 중요한 것으로 판명될 수 있습니다. 최소한 아름다운 개념이죠.
n-카테고리와 물리학에 대해 자세히 알아보려면 대략 난이도가 높은 순서대로 나열된 다음 논문을 살펴보세요(제가 집필에 참여한 논문이 많지만)!
존 바에즈, 고차원 대수학과 플랑크 규모 물리학, 물리와 철학이 플랑크 규모에서 만나다, 편집. 크레이그 칼렌더와 닉 휴겟, 캠브리지 U. 프레스, 캠브리지, 2001, 177-195쪽. 내 웹 사이트와 GR-QC/9902017에서도 볼 수 있습니다.
존 바에즈, 양자 난제: 범주 이론적 관점. 양자 중력의 구조적 기초, 편집. 스티븐 프렌치, 딘 리클스, 주하 사시, 옥스퍼드 U. 프레스, 옥스퍼드. 제 웹사이트와 quant/ph/0404040에서도 볼 수 있습니다.
존 바에즈와 제임스 돌란, 유한 집합에서 파인만 다이어그램까지, 수학 무제한 - 2001 그리고 그 너머, 1권, 편집. 비욘 엥퀴스트와 빌프리드 슈미드, 스프링거, 베를린, 2001, 29-50쪽. math.QA/0004133으로도 제공됩니다.
J. Scott Carter와 Masahico Saito, 매듭 곡면과 그 다이어그램, 미국 수학 학회, 로드아일랜드 주 프로비던스, 1998.
존 바에즈와 제임스 돌란, 고차원 대수학과 위상 양자 장 이론, Jour. Math. 36 (1995), 6073-6105. q-alg/9503002에서도 볼 수 있습니다.
존 바에즈와 제임스 돌란, 범주화, 『고등 범주 이론』, 편집. 에즈라 게츨러와 미하일 카프라노프, Contemp. Math. 230, 미국 수학 협회, 프로비던스, 로드아일랜드, 1998, 1-36쪽. math.QA/9802029로 제공.
존 바에즈와 제임스 돌란, 고차원 대수학과 위상 양자 장 이론, Jour. Math. 36 (1995), 6073-6105. q-alg/9503002로도 제공됩니다.
루이스 크레인과 데이비드 예터, 위상 양자장 이론에 내포된 대수적 구조에 관하여, 매듭 이론과 그 파급효과 저널 8 (1999) 125-163. 여기에서 아름다운 컬러 사진과 함께 hep-th/9412025로도 제공됩니다.
루이스 크레인과 이고르 프렌켈, 4차원 위상 양자장 이론, 호프 범주, 그리고 정식 기저, Jour. Math. 35 (1994), 5136-5154. hep-th/9405183으로도 이용 가능.
마르코 맥케이, 구형 2-범주 및 4-다양체 불변량, Adv. 143 (1999), 288-348 math.QA/9805030으로 제공됩니다.
마틴 노이클, 호프 범주의 표현 이론, 박사 학위 논문, 뮌헨 대학교 수학과, 1997, http://math.ucr.edu/home/baez/neuchl.ps 에서 볼 수 있습니다.
존 바에즈와 마틴 노이클, 고차원 대수학 I: 브레이드 모노이드 2-카테고리, Adv. Math. 121 (1996), 196-244. q-alg/9511013으로도 제공됩니다.
존 바에즈, 고차원 대수 II: 2-힐버트 공간, Adv. 127 (1997), 125-189. q-alg/9609018로도 제공됩니다.
존 바에즈와 제임스 돌란, 고차원 대수 III: n-카테고리와 오피토프의 대수, Adv. 135 (1998), 145-206. q-alg/9702014로도 제공.
존 바에즈와 로렐 랭포드, 고차원 대수 IV: 2-탱글, 진전된 수학. 180 (2003), 705-764. math.QA/9811139로도 제공.
John Baez와 Aaron D. Lauda, 고차원 대수 V: 2-군, 범주 12의 이론과 응용 (2004), 423-491. math.QA/0307200으로도 제공됨.
존 바에즈와 알리사 크란스, 고차원 대수학 VI: 거짓말 2-대수 이론과 범주 12의 응용 (2004), 492-528. math.QA/0307263으로도 제공됨.
John Baez, Alissa S. Crans, Danny Stevenson 및 Urs Schreiber, 루프 그룹에서 2-그룹으로, math.QA/0504123으로 제공.
Urs Schreiber, 루프 공간 역학에서 노나블리안 문자열로, 박사 학위 논문, hep-th/0509163으로 제공됩니다.
위의 논문이 너무 기술적인 내용이라 부담스럽다면 이번 주 발견의 49주차에서 n-카테고리 이론에 대한 간략한 개요를 읽어보시거나, 73주차부터 시작되는 시리즈에서 더 자세하지만 여전히 가벼운 설명을 읽어보실 수 있습니다. n-카테고리와 물리학의 최신 동향을 알아보려면 Urs Schreiber의 블로그를 참조하세요.
카테고리의 다소 다른 측면, 즉 토포스 이론에 대한 저의 간단한 소개도 읽어보실 수 있습니다.