토포스 이론 요약 존 바에즈 10월 10, 2021
토포스가 무엇인지 알고 싶으신가요? 먼저 손으로 물결치는 듯한 모호한 설명을 드리고, 실제 정의, 이 정의의 몇 가지 결과, 그리고 몇 가지 예시를 보여드리겠습니다. 마지막으로 몇 가지 읽을거리를 더 알려드리겠습니다.
경고하건대, 토포스 이론을 실제로 문제 해결에 사용할 수 있을 만큼 충분히 배우려면 많은 노력이 필요합니다. 따라서 토포스를 배우는 주된 이유는 특정 문제를 빨리 풀기 위해서가 아니라, 시야를 넓히고 집합 이론에 기반한 전통적인 수학이 사고에 강요하는 틀에서 벗어나기 위함이어야 합니다.
- 손바닥으로 하늘을 가리는 모호한 설명 1963년경, 빌 로버리는 범주 이론을 기반으로 수학의 새로운 기초를 찾아내기로 결심했습니다. 그의 아이디어는 엄밀히 말해 범주 이론적 관점에서 집합의 위대한 점을 알아내는 것이었습니다. 범주 이론은 객체와 형태론에 관한 것이기 때문에 이것은 흥미로운 프로젝트입니다. 집합의 범주에서 이것은 집합과 함수를 의미합니다. 물론 집합 이론의 일반적인 공리는 모두 집합과 멤버십에 관한 것입니다. 따라서 범주 이론적 관점에서 집합론을 분석하면 멤버십을 경시하고 함수를 강조하는 급진적인 관점의 변화가 필요합니다.
1966년 봄, 로베르는 대수 기하학 연구에서 '토포스'라는 개념을 창안한 알렉산더 그로텐디크의 연구를 접하게 됩니다. "토포스"라는 단어는 그리스어로 "장소"를 의미합니다. 대수 기하학에서 우리는 종종 어떤 것이 참인지 아닌지뿐만 아니라 참인 위치에도 관심을 갖습니다. 예를 들어, 한 공간에 두 개의 함수가 주어졌을 때 두 함수가 같은 위치는 어디일까요? 그로텐디크는 이 문제에 대해 깊이 생각한 끝에 수학을 할 수 있는 장소의 역할을 하는 토포스라는 개념을 고안해 냈습니다.
궁극적으로 이것은 '공간'이라는 매우 일반적인 개념이 내재된 진리 개념으로 이어졌습니다!
1971년, 로버와 마일스 티어니는 그로텐디크의 원래 토포스 개념(현재 "그로텐디크 토포스"라고 불립니다)을 일반화하고 증류하여 여기서 이야기할 토포스 개념을 고안해 냈습니다. 이를 그로텐디크의 개념과 구분하기 위해 '기본 토포스'라고 부르기도 하지만, 흔히 그냥 토포스라고 부르는 경우가 많으므로 그렇게 부르겠습니다.
그렇다면 토포스란 무엇일까요?
토포이는 집합의 범주와 매우 흡사하게 만드는 특정 추가 속성을 가진 범주입니다. 토포이는 여러 가지가 있으며, 모든 토포이에서 동일한 수학을 수행할 수 있지만 토포이 간에는 많은 차이점이 있습니다. 예를 들어, 토포이에서는 선택의 공리가 성립할 필요도 없고, 배제된 중간의 법칙("P이거나 아닌 것(P)")이 성립할 필요도 없습니다. 그 이유는 진리는 '예' 또는 '아니오'의 문제가 아니라, 어떤 진술이 '어떻게' 참인지, 더 정확하게는 어디가 참인지 추적하기 때문입니다. 모든 토포이는 아니지만 일부 토포이는 자연수의 역할을 하는 '자연수 객체'를 포함합니다.
하지만 손 흔들기는 충분합니다. 토포이가 정확히 무엇인지 살펴봅시다.
- 정의 토포이에 대한 다양한 동등한 정의가 있으며, 일부는 다른 것보다 더 간결합니다. 다음은 다소 비효율적인 정의입니다: 토포스는 다음을 포함하는 범주입니다:
A) 유한 극한과 극한,
B) 지수,
C) 하위 객체 분류기.
그리 길지 않습니다! 하지만 더 짧게 만들 수도 있습니다. 극한은 나머지 부분에서 이어지기 때문에 언급할 필요가 없습니다.
- 정의의 몇 가지 결과 안타깝게도 범주 이론을 모른다면 위의 정의는 신비스러울 것이며 범주 이론의 기본 개념인 객체, 형태, 구성, 동일성으로 돌아가려면 일련의 추가 정의가 필요할 것입니다. 이 모든 것을 설명하는 대신, 집합의 범주에서 A)-C) 항목이 무엇을 의미하는지에 대해 잠시 말씀드리겠습니다: A)는 다음이 있다고 말합니다:
초기 객체(빈 집합과 같은 객체) 터미널 객체 (요소가 하나 인 세트와 같은 객체) 이진 부산물(두 집합의 분리된 결합과 같은 것) 이항 곱(두 집합의 데카르트 곱과 같은 것) 이퀄라이저(f(x) = g(x)가 되도록 모든 원소 x로 구성된 X의 부분집합과 같은 것, 여기서 f,g: X → Y) 공등식(두 원소 f(y)와 g(y)가 식별되는 X의 몫 집합과 같은 것, 여기서 f,g: Y → X) 사실 A)는 이 모든 것과 동일합니다. 그러나 A)는 이 모든 것을 우아하게 통합된 방식으로 말한다는 점을 강조하고 싶습니다. 이 우아한 방식은 방금 나열한 모든 조잡한 방식과 동일하다는 것을 증명하는 정리입니다.
B)는 모든 객체 X와 Y에 대해 "지수"라고 불리는 객체 YX가 존재하며, 이는 "X에서 Y까지의 함수 집합"처럼 작동한다고 말합니다.
C)는 두 요소 집합 {0,1}처럼 작동하는 "하위 객체 분류자" Ω이라는 객체가 있다고 말합니다. 집합의 범주에서는 {0,1}을 "진리 값"의 집합으로 사용합니다. 특히, 함수 f: X → {0,1}은 비밀리에 X의 부분집합과 동일합니다. 마찬가지로, 토포스에 있는 어떤 객체 X의 경우, 형태소 f: X → Ω은 비밀리에 X의 "하위 객체"와 동일합니다.
토포스 이론을 조금이라도 배우고 싶다면 이 모든 개념에 대해 자세히 알아보는 것이 가장 좋은 시간 활용법일 것입니다. 토포스가 무엇인지 기억하지 못하더라도 이 개념들은 여러분이 더 뛰어난 수학자나 수리 물리학자가 되는 데 도움이 될 수 있습니다!
- 예시 여러분이 오래된 퍼디 더디라고 가정해 봅시다. 이제 객체가 집합이고 형태가 함수인 토포스 집합에서 작업하고 싶다고 가정해 봅시다.
우주의 대칭 그룹 G를 알고 있고, 이 대칭 그룹이 작용하는 집합과 이 그룹 작용과 호환되는 함수로만 작업하고 싶다고 가정해 보겠습니다. 그런 다음 위상 G 집합에서 작업하고 싶습니다.
정말 마음에 드는 토폴로지 공간이 있다고 가정해 봅시다. 그렇다면 X의 프리시브 토포스 또는 X의 시브 토포스에서 작업하고 싶을 것입니다. 시브는 트위스터 이론과 대수 기하학 및 위상을 물리학에 응용하는 다른 응용 분야에서 중요합니다.
마지막 두 가지 예를 일반화하면, 임의의 범주 C에 대한 프리시브의 토포스(hom(Cop, Set))에서 작업하는 것이 더 좋을 수 있습니다.
예를 들어, C = Δ(비어 있지 않은 유한 완전 정렬 집합의 범주)인 경우 Δ의 프리시프는 단순 집합입니다. 대수 위상학자들은 이 작업을 좋아하고, 물리학자들은 요즘 점점 더 많은 대수 위상학을 필요로 하기 때문에 성장하면서 결국에는 단순 집합의 범주인 hom(Δop, Set)을 사용하여 대수 위상학을 수행하는 방법을 배우는 것이 좋습니다.
또는 위상 공간 또는 위상과 같은 범주를 갖춘 "사이트"에서 시브의 토포에서 작업하고 싶을 수도 있습니다. 이러한 아이디어는 그로텐디크가 바일의 가설을 증명하기 위한 전략의 일환으로 고안한 것입니다. 사실 토포스 이론은 이렇게 시작되었습니다. 그리고 이러한 아이디어의 힘은 계속 커지고 있습니다. 예를 들어, 2002년에 블라디미르 보에보드스키는 "단순 시브"의 도움으로 밀너의 추측이라는 유명한 문제를 풀고 필즈 메달을 수상했습니다. 단순 시브는 단순 집합과 비슷하지만, 집합을 사이트에서 시브로 대체한 것입니다. 다시 말하지만, 이들은 토포스를 형성합니다. 자운드!
하지만 이 모든 것이 너무 무섭게 들리더라도 신경 쓰지 마세요. 좀 더 "기초적인" 맛의 예도 있습니다:
여러분이 유한주의자이고 유한한 집합으로만 작업하고 싶다고 가정해 봅시다. 그런 다음 유한 집합의 토포스와 그 사이의 함수에서 작업하고 싶다고 가정해 보겠습니다. 토포스 이론에서 무한대는 '기본 제공'이 아니라 원할 경우 추가할 수 있는 기능입니다.
여러분이 구성주의자이고 "효과적으로 구성 가능한" 집합과 "효과적으로 계산 가능한" 함수로만 작업하고 싶다고 가정해 보겠습니다. 그런 다음 Martin Hyland가 개발한 "효과적인 토포스"로 작업하고 싶다고 가정해 보겠습니다.
물리학자들이 항상 하는 방식인 무한소수를 이용한 미적분학을 좋아하지만 엄밀하게 계산하고 싶다고 가정해 보겠습니다. 그런 다음 로베레와 앤더스 콕이 개발한 "부드러운 토포스"로 작업하고 싶다고 가정해 보세요.
또는 시간에 매우 관심이 많고 시간에 따라 달라지는 집합과 그 사이의 시간에 따라 달라지는 함수로 작업하고 싶다고 가정해 보겠습니다. 이 경우 멋진 이름은 모르겠지만 객체는 매 시간 t마다 집합 S(t)를 제공하고, 형태소는 함수 f(t)를 제공하는 토포스가 있습니다: S(t) → T(t) 이것도 토포스를 제공합니다!
사람들은 종종 조금 더 나아가 객체 S가 매 시간 t마다 집합 S(t)와 t ≤ t'일 때마다 함수 St,t' : S(t) → S(t')로 구성되는 토포스로 작업하기도 합니다. 여기서 아이디어는 시간이 지남에 따라 집합에 새로운 원소가 있다는 것을 알게 되거나 두 원소가 같다는 것을 알게 되어 S(t)에서 S(t')로의 맵을 얻을 수 있다는 것입니다. 이 토포이에 어떤 형태가 있어야 하는지 추측해 보겠습니다.
많은 토포이가 있습니다! 필요에 따라 직접 만들 수 있습니다.
- 더 알아보기 토포이 이론에 대해 더 자세히 알고 싶으시다면, 여기에서 가장 쉽게 시작할 수 있습니다: F. 윌리엄 로베어와 스티브 샤누엘, 개념 수학: 범주에 대한 첫 번째 소개, Cambridge U. Press, Cambridge, 1997. 처음에는 거의 유치하게 보일 수 있지만 점차적으로 당신에게 다가옵니다. 샤누엘은 연습 문제를 반드시 풀어야 한다고 말했는데, 그렇지 않으면 어느 순간 책이 너무 쉬워졌다가 갑자기 너무 어려워질 것입니다! 연습 문제를 계속 풀다 보면 어느새 토포스 이론의 모든 기본 개념을 거의 무의식적으로 이해하게 될 것입니다.
그 다음에는 이 문제를 풀어보세요:
F. 윌리엄 로베어와 로버트 로즈브루, 수학의 집합, 캠브리지 U. 프레스, 캠브리지, 2003. 이 책은 집합의 토포이를 통해 범주 이론을 소개하는 훌륭한 입문서입니다. 일반적인 집합 이론을 토포이 이론적 용어로 설명하여 보다 일반적인 토포이로 넘어갈 때 어떤 공리가 삭제되는지, 그 이유는 무엇인지 명확하게 설명합니다. 이 책은 이전 책보다 훨씬 더 나아갔고, 따라가려면 좀 더 정교함이 필요하지만 여전히 초보자를 위해 쓰여졌습니다.
저는 다음 책에서 많은 것을 얻었습니다:
로버트 골드블랫, 토포이, 논리의 범주 분석. 도버 출판사에서 구할 수도 있습니다. 제목에 겁먹지 마세요. 처음부터 범주를 설명한 후 토포이와 논리와의 관계로 넘어갑니다. 사실, 많은 토포이 학자들은 이 책이 충분히 충실하지 않다고 불평합니다. 토포이가 논리에서 개념을 조명하는 방법을 보여줄 뿐, 토포이로 멋진 일을 많이 할 수 있다는 것을 보여주지 못하기 때문이죠. 하지만 초보자에게는 이 정도면 충분합니다!
더 깊이 파고들고 싶으시다면 이 책을 읽어보세요:
톰 레인스터, 토포이 이론에 대한 비공식적인 소개. "기본 범주 이론에는 자신 있지만 토포이에 대해 거의 또는 전혀 모르는 독자를 위한 짧은 해설서"입니다. 그렇다면 이 책을 읽어보세요: 손더스 맥 레인과 이에케 모어딕, 기하학과 논리학의 시브: 토포스 이론에 대한 첫 번째 입문, Springer, 뉴욕, 1992. 또는 이것: 콜린 맥라티, 초등 범주, 초등 토포즈, 클래런던 프레스, 옥스퍼드, 1995. 맥 레인과 모어딕의 책은 토포스 이론이 논리와 기하학을 통합하는 방법을 매우 상세하게 설명하는 광범위하고 깊이 있는 책입니다. 맥라티의 책은 더 짧고 간결하며 논리에 중점을 두고 있습니다. 맥라티가 토포스 이론의 큰 그림에 대해 덜 기술적인 방식으로 이야기하는 것을 듣고 싶으시다면 이 강의를 적극 추천합니다:
콜린 맥라티, 토포스 이론의 역사의 사용과 남용, Brit. J. Phil. 41 (1990), 351-375. 그는 토포스 이론이 집합 이론을 일반화하려는 시도로서 발생했다는 논리 학자들 사이에서 흔히 볼 수 있는 잘못된 인식에 대해 불평합니다: 범주 이론은 위상학의 복잡한 실제 문제에서 비롯된 것입니다. 토포스 이론은 그로텐디크의 기하학 연구, 티어니의 위상수학에 대한 관심, 로베레의 물리학 기초에 대한 관심에서 비롯되었습니다. 이 점에서 두 과목이 대표적입니다. 중요한 수학적 개념은 이전의 개념을 일반화하는 데서 발생하는 경우는 거의 없습니다. 그보다는 이전의 여러 개념과 문제를 통합, 설명 또는 다루려는 시도에서 발생하는 경우가 더 많습니다. 그것이 중요한 이유는 일을 더 쉽게 만들어주기 때문에 가장 어려운 지점부터 정확한 역사적 처리가 시작될 수 있기 때문입니다. 저는 범주와 위상의 보다 정확한 역사를 스케치하고 상식적인 역사가 그 내용을 가리고 특히 수학의 범주적 기초를 가리는 몇 가지 방법을 보여드리겠습니다. 하지만 더 정확한 역사가 초보자가 범주 이론을 배우는 데 도움이 될지는 의문입니다. 저는 이 주제를 소개하는 데 도움이 될 수 있는 더 광범위하게 위조된 역사로 결론을 내렸습니다. 그리고 그 후에는... 서두르지 말자! 예를 들어, 이 고전은 이제 온라인에서 무료로 이용할 수 있습니다:
마이클 바, 찰스 웰스, 토포즈, 트리플, 그리고 이론. 하지만 초보자가 비명을 지르며 도망칠 정도로 충분히 고급입니다! 지금은 마음에 들지만 몇 년이 걸렸죠.
이 책들도 비슷한 효과를 낼 것입니다:
피터 존스톤, 토포스 이론, 런던 수학 협회 논문집 10, Academic Press, 1977. 피터 존스톤, 코끼리의 스케치: 토포스 이론 개요, 옥스퍼드 U. 프레스, 옥스퍼드. 1권, 파트 A : 카테고리로서의 토포스와 파트 B : 토포스 이론의 2 가지 범주 적 측면으로 구성된 720 페이지, 2002 년에 출판되었습니다. 2권, 파트 C: 공간으로서의 토포즈, 파트 D로 구성: 이론으로서의 토포즈, 880페이지, 2002년에 출간되었습니다. 3권, 파트 E: 동형과 동형론, 파트 F: 수학적 우주로서의 위상, 준비 중입니다. 하지만 토포즈 이론에 대해 더 깊이 들어가면 그 안에 엄청난 지혜가 담겨 있다는 것을 알게 될 것입니다. 저도 지금 읽으려고 합니다. 맥라티는 존스톤의 고전인 토포이 이론을 따라가다 보면 토포이를 제대로 이해하고 있다고 말할 수 있다고 말했습니다. 이 책은 오랫동안 이 주제에 대한 핵심적인 텍스트였지만, 그의 새로운 3부작에 대한 한 평론가는 "읽기가 너무 어려워서 심장이 약한 사람에게는 적합하지 않다"고 평했습니다. 그의 코끼리 스케치는 설명에 더 많은 시간을 할애하지만, 지형 이론에 익숙하지 않은 사람이라면 나무만 보고 숲을 보지 못할 정도로 상세한 정보로 가득 차 있습니다. 또한 상당한 양의 범주 이론을 가정합니다. 하지만 훌륭합니다!
수학은 일반인이 생각하는 것처럼 딱딱하고 경직된 도식이 아니라, 오히려 그 안에서 우리는 인간 본성의 본질인 제약과 자유의 접점에 있는 자신을 발견하게 됩니다. - 헤르만 바일